электрическое поле равномерно заряженного цилиндра

Содержание
  1. Электрическое поле равномерно заряженного цилиндра
  2. Учебник по физике. Конспект лекций и примеры решения задач
  3. Электрическое поле равномерно заряженного цилиндра
  4. ЛЕКЦИЯ №5
  5. 1. Общие замечания.
  6. 2. Определение и общие замечания о структуре векторного поля(математическое отступление).
  7. 3. Понятие потока и дивергенции(математическое отступление).
  8. 4. Дивергенция в различных системах координат (математическое отступление).
  9. 6. теорема Гаусса в физике.
  10. 7. Использование теоремы Гаусса для расчёта электростатических полей (общие соображения).
  11. 8. Напряженность равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.
  12. 9. Напряженность бесконечной заряженной плоскости.
  13. 10. Напряженность двух бесконечных заряженных плоскостей.
  14. 11. Напряженность равномерно заряженной сферы.
  15. 12. Напряженность равномерно заряженного шара.
  16. 13. Теорема Ирншоу(1839 г.).

Электрическое поле равномерно заряженного цилиндра

tr c w

Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса back go

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

071

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность 005во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность 005будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

072
Рис. 2.11 Рис. 2.12

Тогда 073

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

076

Внутри поверхности заключен заряд 077. Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости 080

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей 081.

Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей напряженность поля 083

085 084

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. 089, то

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью 091, где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

092

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров 093для боковой поверхности 094т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора 005через рассматриваемую поверхность, равен 095

При 096на поверхности будет заряд 097По теореме Остроградского-Гаусса 098, отсюда

Если 100 101, т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

102

Если уменьшать радиус цилиндра R (при 103), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при 104, получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

106

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

107

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, 005– в любой точке проходит через центр шара. 108,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если 096то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

откуда поле вне сферы:

Внутри сферы, при 100поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: 111

113 112

Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Но внутри шара при 100сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный

115

где ρ – объемная плотность заряда, равная: 116; 117– объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

Таким образом, внутри шара 120

Источник

Учебник по физике. Конспект лекций и примеры решения задач

Электростатическое поле бесконечно длинного прямого равномерно заряженного цилиндра.

Рассмотрим цилиндр радиусом R, равномерно заряженный с линейной плотностью + t (это, конечно же, может быть электрический кабель). Из условия симметрии следует, что силовые линии лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующей цилиндра, и направлены радиально от оси цилиндра (рис.16.14), причем, во всех точках, равноудаленных от оси цилиндра, как электрические смещения D, так и напряженности поля Е одинаковы.

Для того чтобы найти D и Е в какой-либо точке А, лежащей на расстоянии r>R от оси цилиндра, проведем через эту точку замкнутую цилиндрическую поверхность S, имеющую конечную длину и коаксиальную с заряженной. Поток смещения сквозь основания этой поверхности, перпендикулярные к оси цилиндра, очевидно, равен нулю, так как для оснований Dn=0.

Рис.16.14. Поле бесконечного заряженного цилиндра.

В точках боковой поверхности Dn = D = const и поток смещения равен 2 p rlD. Таким образом, полный поток смещения ФD сквозь рассматриваемую замкнутую поверхность S равен

Приравнивая правые части выражений (16.25) и (16.24), получаем:

Разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра, равна:

4. Электростатическое поле заряженной проводящей

Рассмотрим поле проводящей и, разумеется, равномерно заряженной по поверхности сферы с радиусом R. Из условия симметрии следует, что силовые линии электростатического поля заряженной сферы направлены радиально (рис.16.16). По тем же причинам численное значение электрического смещения D должно быть одинаковым во всех точках, лежащих на одном и том же расстоянии от центра О заряженной сферы.

Проведем через исследуемую точку поля А, лежащую вне заряженной сферы (r>R), шаровую поверхность S с центром в точке О. Во всех точках этой поверхности Dn = D = const. Поэтому поток смещения сквозь замкнутую поверхность S равен:

Рис.16.16. К расчету поля заряженной проводящей сферы.

Эти формулы тождественны формулам для поля точечного заряда q. Таким образом, электростатическое поле за пределами заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду сферы и расположенного в ее центре. Причем расстояние отсчитывается от центра сферы, а напряженность поля на поверхности (точнее, в точках, бесконечно близких к поверхности, но вне её) равна

Рассмотрим теперь произвольную точку В, лежащую внутри сферы (r R и r2>R ), находим из формулы:

Электростатическое поле равномерно заряженного по объёму шара.

Рассмотрим шар радиусом R, заряженный с постоянной объемной плотностью r (рис.16.17). Такой процедуре можно подвергнуть лишь шар из диэлектрика.

Рис.16.17. К расчету поля непроводящей заряженной сферы.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R),его поле аналогично полю точечного заряда рacположенного в центре шара. Поэтому электрическое смещение, напряженность поля и разность потенциалов вычисляются соответственно по формулам, полученным для проводящей заряженной сферы (16.29), (16.30) и (16.31).

В любой точке В, лежащей внутри шара на расстоянии r от его центра (r

Разность потенциалов между двумя точками поля внутри шара зависит от расстояния не линейно и равна:

На рис.16.17 представлен график зависимости Е от r для равномерно заряженного по объёму шара. При r = R выражения (16.30) и (16.35) совпадают:

Источник

Электрическое поле равномерно заряженного цилиндра

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля 63230164552072 8через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

63230164552082 9

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса (рис. 1.3.3).

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Этот результат не зависит от радиуса заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

Источник

ЛЕКЦИЯ №5

Большая часть великих идей
современных математиков,
если не все,
получила свое начало в наблюдении.
(Дж.Сильвестр)

1. Общие замечания.

В лекции №4 п.1 была установлена связь между электростатическим полем и его источниками (зарядами) в виде определения напряженности (4.4). Однако эта связь может быть записана гораздо более простым и изящным способом, для изложения которого нам придётся вначале ознакомиться с рядом математических понятий.

2. Определение и общие замечания о структуре векторного поля(математическое отступление).

Пусть в некоторой области пространства определено какое-либо векторное поле. Это означает, что в каждой точке данной области пространства задан вектор поля, который будем обозначать a vektor.

3. Понятие потока и дивергенции(математическое отступление).

image008

Пусть в области пространства, в которой определено векторное поле a vektorнаходится поверхность S.

zapomni def:Потоком векторного поля a vektorчерез поверхность S называется поверхностный интеграл image012. (5.1)

Как видно из этого определения интегрируется, фактически, нормальная составляющая вектора a vektor(рис 5.1). В связи с этим используется еще следующее обозначение потока: image016, а также image018, где image020.

image014

Если поверхность S является замкнутой, то поток вектора a vektorчерез такую поверхность обозначается

image023. (5.2)

Теперь дадим определение дивергенции векторного поля. Окружим точку пространства М, где имеется источник векторного поля, произвольной замкнутой поверхностью S.

zapomni def: Дивергенцией векторного поля a vektorв точке М называется предел, к которому стремится отношение потока вектора a vektorчерез поверхность S к объему D V, ограниченному этой поверхностью, когда последняя стягивается к точке М, а D V→0 image029. (5.3)

Как видно из определения, дивергенция представляет собой плотность потока векторного поля.

remark rem: Известно, что плотность какой-либо величины, заданной в пространстве, (например плотность заряда), определяется как предел отношение этой величины, заключенной в объеме D V к величине данного объема. Так и в (5.3) дивергенция определяется как предел отношения потока векторного поля изнутри объема D V, к величине этого объема.

4. Дивергенция в различных системах координат (математическое отступление).

Исходя из определения дивергенции (5.3) в математической теории поля получают следующие формулы, позволяющие вычислять дивергенцию в различных системах координат:

image055, (5.4)

связывающее поток вектора a vektorчерез произвольную замкнутую поверхность S с интегралом от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному данной поверхностью.

6. теорема Гаусса в физике.

В электродинамике данная теорема называется просто теоремой Гаусса и формулируется следующим образом:

zakon Lex: Поток напряженности электрического поля image059через произвольную замкнутую поверхность S пропорционален полному заряду Q, заключенному внутри объема, охваченного данной поверхностью image061. (5.5)

image062

Не доказывая данной теоремы, покажем, как можно прийти к её формулировке. Пусть имеется сферическая замкнутая поверхность произвольного радиуса, а в центре точечный заряд q (рис.5.3а). Задача симметрична. Очевидно, что

image064

Т.о., получили, что поток не зависит от радиуса сферы. Теперь эту сферу окружим произвольной поверхностью (рис.5.3б). Понятно, что поток чего-то, обратно пропорционального квадрату расстояния, через замкнутую поверхность не зависит от формы и размера поверхности.

remark rem: Эта теорема имеет более общий характер, чем закон Кулона, на основе которого обычно строится ее доказательство.

Легко получить дифференциальную форму данной теоремы для величин, относящихся к точке пространства.

image066,

image068 image070

Левые части формул равны, следовательно, равны и правые, а значит и подынтегральные функции:

image072(5.6)

7. Использование теоремы Гаусса для расчёта электростатических полей (общие соображения).

image074(5.7)

image076(5.8)

Очевидно, что такие поверхности есть у любой статической системы зарядов, но заранее они известны далеко не всегда. Например, в случае заряженного диска, или просто заряженной нити, свитой в кольцо, эти поверхности очень сложны и сами требуют весьма непростого расчета. Следовательно, рассчитать поля, создаваемые указанными заряженными телами с помощью теоремы Гаусса нельзя.

Необходимо, однако, сделать следующее замечание о том, что с помощью теоремы Гаусса можно рассчитывать еще поля, создаваемые заряженными телами, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких симметрично заряженных тел. Находя отдельно поля, создаваемые каждым из таких тел, мы, используя принцип суперпозиции электрических полей, находим результирующее поле, создаваемое исходным телом.

8. Напряженность равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

image077

В качестве первого примера применения теоремы Гаусса для расчета электростатических полей рассмотрим подробно решение задачи о напряженности электростатического поля, созданного равномерно заряженным по объему бесконечно-длинным цилиндром радиуса R. На единицу длины цилиндра приходится заряд t (см. формулу (2.8)).

б) В силу симметрии распределения заряда по объему цилиндра, а также его бесконечной длины можно сделать вывод о том, что в любой точке пространства напряженность электрического поля направлена перпендикулярно оси цилиндра, и её модуль зависит только от расстояния до этой оси:

image079

в) В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр радиуса r произвольной высоты h (рис.5.4). Это обусловлено тем, что в каждой точке боковой поверхности данного цилиндра Er(r)=const (при r=const), а поток вектора image081через верхнее и нижнее донышки цилиндра равен 0. Последнее же связано с тем, что в каждой точке этих донышек image083и, следовательно, image085). В соответствии с (5.7) и (5.8) имеем:

image087,

image089,

что представляет собой частный случай формулы (5.8).

г) Найдём напряжённость поля внутри и вне цилиндра.

Заряд, попавший внутрь цилиндра радиуса r и высоты h равен (см. рис.5.4) image091, где image093— объемная плотность заряда. Следовательно, image095и мы имеем image097

При рассмотрении внешней области внутрь поверхности интегрирования попадает Q= t h. Следовательно image099

д) Таким образом, напряженность поля данного цилиндра в каждой точке пространства определяется выражением:

image100 image102(5.9)

Рассмотрим теперь пример расчёта полей, создаваемых заряженными телами, обладающими декартовой и сферической симметрией, соответственно.

9. Напряженность бесконечной заряженной плоскости.

Если еще учесть знаки, то тогда проекция напряженности на ось ОХ будет равна

image111 image113 image114

Очевидно, что скачок напряженности на заряженной поверхности равен 2 s/e0 . Запомним пока этот факт.

10. Напряженность двух бесконечных заряженных плоскостей.

В этом случае заряд распределен только по внутренним сторонам поверхностей (из-за взаимовлияния) с плотностью s ‘=2 s . Поле внутри

image116. Снаружи поля нет. Окончательно

image117 image119(5.12) image120

11. Напряженность равномерно заряженной сферы.

Пусть по поверхности сферы равномерно распределен электрический заряд q (рис.5.9). Задача центрально-симметричная image122image124, поэтому в качестве поверхностей интегрирования выбираем сферы радиуса r. При этом в соответствии с (5.8) будем иметь:
внутри сферы, так как Q=0, то Er=0,
снаружи сферы, поскольку Q=q, то Er=q/4 p r 2 e 0. Таким образом, получаем, формулу (5.13) и график на рис.5.11.

image125 image127(5.13) image128

12. Напряженность равномерно заряженного шара.

Пусть имеется однородно заряженный шар (рис.5.12). Задача снова центрально симметричная, т.е. image130(Er,0,0). Вне шара все аналогично сфере. Применение интегральной формы теоремы Гаусса для внешней области вполне стандартно. Покажем, что этот же результат может быть получен и с помощью дифференциальной формы этой же теоремы (5.6). В нашем случае это уравнение с учетом выражения для дивергенции в сферической системе координат имеет вид

image132, где image134

Разделяя переменные, получим

image136.

Константу считаем равной 0, чтобы не было расходимости при r=0. В итоге получаем формулу (5.14) и график на рис.5.13.

image137 image139(5.13) image140

13. Теорема Ирншоу(1839 г.).

Утверждение о неустойчивости статической системы зарядов называется теоремой Ирншоу.

zakon Lex: Совокупность неподвижных частиц, взаимодействующих между собой с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния не может образовывать устойчивой равновесной системы.

Действительно, пусть имеется заряд, для определенности положительный. Окружим его произвольной замкнутой поверхностью. Чтобы он находился в устойчивом равновесии, необходимо, чтобы поле, образованное всеми остальными зарядами, было направлено к той точке, в которой он первоначально находился. Тогда при отклонении его от положения равновесия, на него будет действовать возвращающая сила. Но в этом случае поток напряженности через эту замкнутую поверхность должен быть отрицательным, т.к. напряженность противоположно направлена внешней нормали. Однако, по теореме Гаусса, поток поля, созданного зарядами вне поверхности, должен быть равен 0. Иначе говоря, нет “пустой” области, где все поле направлено внутрь или наружу. С энергетической точки зрения неустойчивость связана с отсутствием минимума потенциальной энергии.

Если заряды не могут иметь неустойчивого равновесия, то нельзя представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов). Первая модель атома Томсона представляла собой «положительный пудинг с отрицательными изюминками», то есть неустойчивая система.

Резерфорд показал, что в атоме есть маленькое положительное ядро, но такая система тоже неустойчива.

Резерфорд и Бор предложили движение электронов по орбитам. Но так как они в этом случае движутся с центростремительным ускорением, то должны излучать, терять энергию и упасть на ядро. Опять неустойчивость!

Сейчас стабильность атома объясняют с помощью квантовой механики. Электрон «размазан» в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. И такая система устойчива!

Источник

Первый строительный портал
Adblock
detector