электрическое поле равномерно заряженной сферы

Учебники

Журнал «Квант»

Общие

§9. Электрическое поле и его свойства

9.7. Поле равномерно заряженной сферы

Рассмотрим теперь с помощью теоремы Гаусса, поле, создаваемое равномерно заряженной тонкой сферической оболочки. Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление — радиальное, от центра сферы к точке наблюдения. Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис. 171).

Пусть радиус сферы r больше радиуса оболочки. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы \(

Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы. Таким образом, результат, на доказательство которого И. Ньютон затратил несколько лет, получен нами почти автоматически. Подчеркнем, что для доказательства формулы (1) помимо теоремы К. Гаусса, потребовалось рассмотреть симметрию поля.

Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис. 172) также выражается формулой \(

Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.

Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса R, имеет вид (график этой функции показан на рисунке 173)

Источник

Электрическое поле. Напряженность. Принцип суперпозиции

Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Линии напряженности электрического поля (силовые линии). Однородное электрическое поле. Напряженность электростатического поля точечного заряда. Принцип суперпозиции полей. Теорема Гаусса. Электростатическое поле равномерно заряженных плоскости, сферы и шара.

Электрическое поле представляет собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающее электрическим зарядом, а также возникающее при изменении магнитного поля.

Единицы измерения: \(\displaystyle [\text<В>/\text<м>]\) (вольт на метр).

всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

— такое поле в данной области пространства. если вектор напряженности поля одинаков в каждой точке области.

При равномерном распределении электрического заряда \(q\) по поверхности площади \(S\) поверхностная плотность заряда \(\displaystyle \sigma\) постоянна и равна

Принцип суперпозиции полей

Заряженная плоскость

Её электрическое поле однородно, то есть его напряжённость одинакова на любом расстоянии от плоскости, линии напряжённости параллельны. По теореме Гаусса:

Заряженная сфера

Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженной сферы. Поток напряжённости через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нуля, так как внутри этой поверхности нет заряда. Отсюда следует, что внутри сферы напряжённость равна нулю.

Заряженный шар

Источник

§ 1.12. Поле заряженной плоскости, сферы и шара

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда с. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью ΔS. Пусть заряд этого участка равен Δq. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда Δq к площади поверхности, по которой он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью ΔS содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований — атомов.

В случае равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S поверхностная плотность заряда постоянна и равна:

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Поверхностная плотность заряда σ известна. Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости. Поле бесконечной плоскости — однородное поле. Во всех точках пространства, независимо от расстояния до плоскости, напряженность поля одна и та же.

Для применения теоремы Гаусса нужно выбрать замкнутую поверхность таким образом, чтобы можно было легко вычислить поток напряженности электрического поля через эту поверхность. В данном случае удобнее всего выбрать цилиндр, образующие которого параллельны линиям напряженности электрического поля, а основания параллельны плоскости (рис. 1.43).

Тогда поток через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю. Поэтому полный поток равен потоку через основания цилиндра А и В:

где Е_n — проекция вектора напряженности на нормаль к основанию цилиндра. Полный заряд внутри цилиндра равен σS. Согласно теореме Гаусса

Отсюда модуль напряженности равен:

В СИ эта формула принимает вид:

а в абсолютной системе

Поле равномерно заряженной сферы

Поток напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нулю, так как равен нулю заряд. Это может быть лишь в том случае, когда напряженность поля внутри сферы равна нулю.

Найдем напряженность поля вне сферы. Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны ее поверхности (рис. 1.44). Поэтому модуль напряженности поля одинаков во всех точках, лежащих на одинаковых расстояниях от центра сферы.

Проведем сферическую поверхность радиусом r > R, где R — радиус заряженной сферы. Поток напряженности через эту поверхность равен:

Если заряд сферы q, то по теореме Гаусса

Следовательно, модуль напряженности поля при r > R равен:

Таким образом, поле заряженной сферы совпадает вне сферы с полем точечного заряда, расположенного в центре сферы. График зависимости Е(r) изображен на рисунке 1.45.

Поле равномерно заряженного шара

Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда Δq к объему ΔV, в котором он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд q равномерно распределен по объему V, то объемная плотность заряда постоянна и равна:

Будем считать, что шар радиусом R равномерно заряжен; плотность заряда ρ известна. Полный заряд шара

Напряженность электрического поля вне шара можно найти с помощью теоремы Гаусса точно так же, как и напряженность равномерно заряженной сферы [см. формулу (1.12.9)]:

(при условии, что r > R). Поле аналогично полю точечного заряда q, расположенного в центре шара.

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом к

Напряженность электрического поля линейно растет с увеличением расстояния вплоть до u = R. При r > R она определяется формулой (1.12.12). График модуля напряженности поля в зависимости от расстояния до центра представлен на рисунке 1.47.

Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто определить напряженность электрического поля, если распределение заряда обладает определенной симметрией. Формулы (1.12.5), (1.12.9) и (1.12.15) следует запомнить. Их придется часто использовать.

Вопрос для самопроверки

* Мы предполагаем, что диэлектрическая проницаемость среды одинакова внутри и вне шара.

Источник

Электростатическое поле точечного заряда и заряженной сферы

теория по физике 🧲 электростатика

Любые заряженные тела создают вокруг себя электростатическое поле. Рассмотрим особенности электростатического поля, создаваемого точечным зарядом и заряженной сферой.

Электростатическое поле точечного заряда

Направление силовых линий электростатического поля точечного заряда

Положительный заряд +Q	Отрицательный заряд –Q
У положительного заряда силовые линии направлены по радиальным линиям от заряда.	У отрицательного заряда силовые линии направлены по радиальным линиям к заряду.

Модуль напряженности не зависит от значения пробного заряда q₀:

Модуль напряженности точечного заряда в вакууме:

Модуль напряженности точечного заряда в среде:

Сила Кулона:

Потенциал не зависит от значения пробного заряда q₀:

Потенциал точечного заряда в вакууме:

Потенциал точечного заряда в среде:

Внимание! Знак потенциала зависит только от знака заряда, создающего поле.

Эквипотенциальные поверхности для данного случая — концентрические сферы, центр которых совпадает с положением заряда.

Работа электрического поля по перемещению точечного заряда:

A 12 = ± q ( φ 1 − φ 2 )

Пример №1. Во сколько раз увеличится модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом Q в некоторой точке, при увеличении значения этого заряда в 5 раз? Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом, определяется формулой:

Формула показывает, что модуль напряженности и электрический заряд — прямо пропорциональные величины. Следовательно, если заряд, который создает поле, увеличится в 5 раз, то модуль напряженности создаваемого поля тоже увеличится в 5 раз.

Электростатическое поле заряженной сферы

Направление силовых линий электростатического поля заряженной сферы:

Положительно заряженная сфера +Q	Отрицательно заряженная сфера –Q
У положительно заряженной сферы силовые линии — это радиальные линии, которые начинаются из этой сферы.	У отрицательно заряженной сферы силовые линии — это радиальные линии, которые заканчиваются в этой сфере.

Модуль напряженности электростатического поля заряженной сферы:

Внутри проводника (расстояние меньше радиуса сферы, или r E = 0 a — расстояние от поверхности сферы до изучаемой точки. r — расстояние от центра сферы до изучаемой точки.

Сила Кулона:

Пример №2. Определить потенциал электростатического поля, создаваемого заряженной сферой радиусом 0,1 м, в точке, находящейся на расстоянии 0,2 м от этой сферы. Сфера заряжена положительна и имеет заряд, равный 6 нКл.

Так как сфера заряжена положительно, то потенциал тоже положителен:

Два неподвижных точечных заряда действуют друг на друга с силами, модуль которых равен F. Чему станет равен модуль этих сил, если один заряд увеличить в n раз, другой заряд уменьшить в n раз, а расстояние между ними оставить прежним?

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Применим закон Кулона к парам зарядов. Закон Кулона для первой пары:

Закон Кулона для второй пары:

Коэффициент n сократился. Следовательно, силы, с которыми заряды взаимодействуют друг с другом, не изменятся:

После изменения зарядов модуль силы взаимодействия между ними останется равным F.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В трёх вершинах квадрата размещены точечные заряды: +q, – «>– q, +q (q >0) (см. рисунок). Куда направлена кулоновская сила, действующая со стороны этих зарядов на точечный заряд +2q, находящийся в центре квадрата?

Алгоритм решения

Решение

Сделаем чертеж. В центр помещен положительный заряд. Он будет отталкиваться от положительных зарядов и притягиваться к отрицательным:

Модули всех векторов сил, приложенных к центральному точечному заряду равны, так как модули точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата равны, и находятся они на одинаковом расстоянии от этого заряда.

Складывая векторы геометрически, мы увидим, что силы, с которыми заряд +2q отталкивается от точечных зарядов +q, компенсируют друг друга. Поэтому на заряд действует равнодействующая сила, равная силе, с которой он притягивается к отрицательному точечному заряду –q. Эта сила направлена в ту же сторону (к нижней правой вершине квадрата).

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На неподвижном проводящем уединённом шарике радиусом R находится заряд Q. Точка O – центр шарика, OA = 3R/4, OB = 3R, OC = 3R/2. Модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке C равен EC. Определите модуль напряжённости электростатического поля заряда Q в точке A и точке B?

Установите соответствие между физическими величинами и их значениями.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Источник

10 класс

§ 61. Напряжённость поля различной конфигурации зарядов

Напряжённость поля равномерно заряженной сферы.

Когда заряд распределён по какой-либо поверхности, то для расчёта напряжённости электрического поля вводят физическую величину — поверхностную плотность заряда. Её обозначают буквой сигма (σ).

Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда Δq к площади поверхности ΔS, по которой он распределён.

В случае равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S поверхностная плотность заряда постоянна и равна

Докажем, что напряжённость электростатического поля в любой точке внутри заряженной сферы всегда равна нулю. Для этого выберем произвольную точку А внутри сферы (рис. 9.26) и построим два симметричных конуса с одинаковыми малыми углами при вершине.

На поверхности сферы конусы отсекают малые сферические участки (площадки), которые можно считать плоскими. Конусы подобны друг другу, так как их углы при вершине равны. Отсюда следует, что площади оснований малых сферических участков относятся как квадраты расстояний от точки А до площадок. Таким образом,

Согласно формуле (1), заряды площадок g₁ = σS₁ и g₂ = σS₂. Считая эти заряды точечными, найдём напряжённость E поля, создаваемого ими в точке А.

На такие пары участков можно разбить из точки А всю поверхность сферы. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, напряжённость поля, создаваемого в точке А всей сферой, равна нулю. Это справедливо и для любой другой точки внутри сферы.

Найдём модуль напряжённости поля вне сферы радиусом R. Линии напряжённости начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны её поверхности (рис. 9.27). Поэтому модуль напряжённости поля одинаков во всех точках, равноудалённых от центра сферы.

Используя принцип суперпозиции и метод графического изображения электрических полей, можно показать, что поле заряженной сферы совпадает вне сферы с полем точечного заряда, расположенным в центре сферы. Следовательно, модуль напряжённости электростатического поля при r ≥ R равен

График зависимости E (r) для этого случая изображён на рисунке 9.28. Из него видно, что и это электростатическое поле неоднородно и его напряжённость убывает с расстоянием. Другими словами, густота силовых линий электростатического поля становится при удалении от сферы всё меньше.

Напряжённость поля равномерно заряженной плоскости.

Из соображений симметрии очевидно, что для бесконечно протяжённой во всех направлениях плоскости линии напряжённости электростатического поля представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости (рис. 9.30).

Поле бесконечной плоскости — однородное поле. Во всех точках пространства, независимо от расстояния до плоскости, напряжённость поля плоскости одна и та же (см. рис. 9.30). Другими словами, густота силовых линий однородного поля одинакова на любом расстоянии от пластины. Есть только одно ограничение: размеры пластины должны быть значительно больше, чем расстояния, на которых мы определяем напряжённость электрических полей.

Выражение для модуля напряжённости однородного поля равномерно заряженной плоскости мы приведём без вывода:

Напряжённость поля двух бесконечных параллельных равномерно заряженных пластин.

По принципу суперпозиции, очевидно, что результирующее электрическое поле создаётся полем положительно заряженной пластины и полем отрицательно заряженной пластины (рис. 9.31).

В областях I, II и III пространства вокруг пластин модуль напряжённости поля, созданного каждой из пластин 1 и 2, вычисляется по формуле (2). Модули напряжённостей полей, созданных пластинами 1 и 2, равны

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, результирующая напряжённость поля в областях I и III пространства равна нулю, а в области II она равна модулю суммарной напряжённости пластин.

Соответствующий график зависимости Е(r) представлен на рисунке 9.32. Из него следует, что электрическое поле между пластинами можно считать практически однородным, а снаружи его напряжённость равна нулю.

Вопросы:

1. Как можно определить напряжённость поля, созданного равномерно заряженной плоскостью?

2. Чему равна напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной сферой:

3. Охарактеризуйте электрическое поле, созданное двумя бесконечными параллельными равномерно заряженными пластинами.

Вопросы для обсуждения:

1. Как вы думаете, какой физический смысл имеют:

а) объёмная плотность заряда;

б) линейная плотность заряда?

2. Заряженный лист фольги имеет те же размеры, что и страница из тетради. Можно ли определить модуль напряжённости электрического поля, созданного на расстоянии 0,5 см от него, используя формулу (2)?

Упражнения:

Источник