электрическое поле заряженного проводящего шара

§ 90. Поле точечного заряда и заряженного шара. Принцип суперпозиции полей

Что показывают силовые линии?

Для чего они используются?

Напряжённость поля точечного заряда. Найдём напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом q₀. По закону Кулона этот заряд будет действовать на положительный заряд q с силой

Модуль напряжённости поля точечного заряда q₀ на расстоянии г от него равен:

Вектор напряжённости в любой точке электрического поля направлен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд (рис. 14.14), и совпадает с силой, действующей на точечный положительный заряд, помещённый в данную точку. Силовые линии электрического поля точечного заряда, как следует из соображений симметрии, направлены вдоль радиальных линий (рис. 14.15, а).

Поле заряженного шара. Рассмотрим теперь вопрос об электрическом поле заряженного проводящего шара радиусом R. Заряд q равномерно распределён по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, также из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис. 14.15, б).

Распределение в пространстве силовых линий электрического поля шара с зарядом q на расстояниях r ≥ R от центра шара аналогично распределению силовых линий поля точечного заряда q (см. рис. 14.15, а). Следовательно, на расстоянии r ≥ R от центра шара напряжённость поля определяется той же формулой (14.9), что и напряжённость поля точечного заряда, помещённого в центре сферы:

Важно
Внутри проводящего шара (r Принцип суперпозиции полей

Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряжённости которых ₁, ₂, ₃ и т. д., то результирующая напряжённость поля в этой точке равна сумме напряжённостей этих полей:

Напряжённость поля, создаваемого отдельным зарядом, определяется так, как будто других зарядов, создающих поле, не существует.

Согласно принципу суперпозиции полей для нахождения напряжённости поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать выражение (14.9) для напряжённости поля точечного заряда. Для определения направления векторов напряжённостей полей отдельных зарядов мысленно помещаем в выбранную точку положительный заряд.

На рисунке 14.16 показано, как определяется напряжённость поля в точке А, созданного двумя точечными зарядами q₁ и q₂.

Ключевые слова для поиска информации по теме параграфа.
Напряжённость. Силовые линии. Принцип суперпозиции полей

Вопросы к параграфу

1. Чему равна напряжённость поля заряженного проводящего шара?

2. Чему равна напряжённость поля точечного заряда?

3. Как направлена напряжённость поля заряда q₀, если q₀ > 0? если q₀

Источник

Электрическое поле заряженного проводящего шара

Что показывают силовые линии?
Для чего они используются?

Напряжённость поля точечного заряда.

Найдём напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом q₀. По закону Кулона этот заряд будет действовать на положительный заряд q с силой

Модуль напряжённости поля точечного заряда q₀ на расстоянии г от него равен:

Вектор напряжённости в любой точке электрического поля направлен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд (рис. 14.14), и совпадает с силой, действующей на точечный положительный заряд, помещённый в данную точку.

Силовые линии электрического поля точечного заряда, как следует из соображений симметрии, направлены вдоль радиальных линий (рис. 14.15, а).

Поле заряженного шара.

Рассмотрим теперь вопрос об электрическом поле заряженного проводящего шара радиусом R. Заряд q равномерно распределён по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, также из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис. 14.15, б).

Распределение в пространстве силовых линий электрического поля шара с зарядом q на расстояниях r ≥ R от центра шара аналогично распределению силовых линий поля точечного заряда q (см. рис. 14.15, а). Следовательно, на расстоянии r ≥ R от центра шара напряжённость поля определяется той же формулой (14.9), что и напряжённость поля точечного заряда, помещённого в центре сферы:

Внутри проводящего шара (r

На рисунке 14.16 показано, как определяется напряжённость поля в точке А, созданного двумя точечными зарядами q₁ и q₂.

Источник

§ 1.12. Поле заряженной плоскости, сферы и шара

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда с. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью ΔS. Пусть заряд этого участка равен Δq. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда Δq к площади поверхности, по которой он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью ΔS содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований — атомов.

В случае равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S поверхностная плотность заряда постоянна и равна:

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Поверхностная плотность заряда σ известна. Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости. Поле бесконечной плоскости — однородное поле. Во всех точках пространства, независимо от расстояния до плоскости, напряженность поля одна и та же.

Для применения теоремы Гаусса нужно выбрать замкнутую поверхность таким образом, чтобы можно было легко вычислить поток напряженности электрического поля через эту поверхность. В данном случае удобнее всего выбрать цилиндр, образующие которого параллельны линиям напряженности электрического поля, а основания параллельны плоскости (рис. 1.43).

Тогда поток через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю. Поэтому полный поток равен потоку через основания цилиндра А и В:

где Е_n — проекция вектора напряженности на нормаль к основанию цилиндра. Полный заряд внутри цилиндра равен σS. Согласно теореме Гаусса

Отсюда модуль напряженности равен:

В СИ эта формула принимает вид:

а в абсолютной системе

Поле равномерно заряженной сферы

Поток напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нулю, так как равен нулю заряд. Это может быть лишь в том случае, когда напряженность поля внутри сферы равна нулю.

Найдем напряженность поля вне сферы. Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны ее поверхности (рис. 1.44). Поэтому модуль напряженности поля одинаков во всех точках, лежащих на одинаковых расстояниях от центра сферы.

Проведем сферическую поверхность радиусом r > R, где R — радиус заряженной сферы. Поток напряженности через эту поверхность равен:

Если заряд сферы q, то по теореме Гаусса

Следовательно, модуль напряженности поля при r > R равен:

Таким образом, поле заряженной сферы совпадает вне сферы с полем точечного заряда, расположенного в центре сферы. График зависимости Е(r) изображен на рисунке 1.45.

Поле равномерно заряженного шара

Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда Δq к объему ΔV, в котором он распределен:

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд q равномерно распределен по объему V, то объемная плотность заряда постоянна и равна:

Будем считать, что шар радиусом R равномерно заряжен; плотность заряда ρ известна. Полный заряд шара

Напряженность электрического поля вне шара можно найти с помощью теоремы Гаусса точно так же, как и напряженность равномерно заряженной сферы [см. формулу (1.12.9)]:

(при условии, что r > R). Поле аналогично полю точечного заряда q, расположенного в центре шара.

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом к

Напряженность электрического поля линейно растет с увеличением расстояния вплоть до u = R. При r > R она определяется формулой (1.12.12). График модуля напряженности поля в зависимости от расстояния до центра представлен на рисунке 1.47.

Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто определить напряженность электрического поля, если распределение заряда обладает определенной симметрией. Формулы (1.12.5), (1.12.9) и (1.12.15) следует запомнить. Их придется часто использовать.

Вопрос для самопроверки

* Мы предполагаем, что диэлектрическая проницаемость среды одинакова внутри и вне шара.

Источник

Этому заряду

Отсюда сила, действующая на ряд q со стороны электрического поля, равна:

Направление вектора Е совпа­дает с направлением силы, действую­щей на положительный заряд, и противоположно направлению силы, действующей на отрицательный за­ряд.

Согласно формуле (1) напря­женность поля в единицах СИ можно выразить в ньютонах на кулон (И/Кл).

Напряженность поля точечного заряда.Найдем напряженность элек­трического поля, создаваемого то­чечным зарядом q₀. По закону Ку­лона этот заряд будет действовать на другой заряд с силой, равной:

Модуль напряженности поля точечного заряда q₀ на расстоянии rот него равен:

Вектор напряженности в любой точке электрического поля направ­лен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд (рис1).

На электрические заряды дей­ствуют силы со стороны электри­ческого поля. Если при наложении полей от нескольких зарядов эти по­ля не оказывают никакого влияния друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Опыт показывает, что именно так и про­исходит на самом деле. Это озна­чает, что напряженности полей скла­дываются геометрически.

В этом состоит принцип супер­позиции полей, который форму­лируется так: если в данной точке пространства различные заряжен­ные частицы создают электрические поля, напряженности которых и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна:

Благодаря принципу суперпози­ции для нахождения напряженности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать вы­ражение (3) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 2 показано, как определяется напряженность поля Е в точке А, созданная двумя точечными заря­дами: q₁и q₂

Введение электрического поля по­зволяет задачу вычисления сил взаимодействия заряженных частиц разбить на две части. Сначала вы­числяют напряженность поля, соз­данного зарядами, а затем по из­вестной напряженности определяют силы. Такое разделение задачи на части обычно облегчает расчеты сил.

Рис.1 Рис.2
СИЛОВЫЕ ЛИНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ ЗАРЯЖЕННОГО ШАРА.

Электрическое поле не действует на органы чувств. Его мы не видим. Тем не менее, распределение поля в пространстве можно сделать видимым. Делается это довольно просто.

Мы получим некоторое представ­ление о распределении поля, если нарисуем векторы напряженности поля в нескольких точках простран­ства (рис. 1). Картина будет более наглядной, если нарисовать непре­рывные линии, касательные к кото­рым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектора­ми напряженности. Эти линии назы­вают силовыми линиями электриче­ского поля или линиями напряжен­ности(рис. 2).

Однако силовые линии можно сделать видимыми. Если продолго­ватые кристаллики изолятора (на­пример, хинина) хорошо переме­шать в вязкой жидкости (например, в касторовом масле) и поместить туда заряженные тела, то вблизи этих тел кристаллики выстроятся в цепочки вдоль линии напряжен­ности.

На рисунках приведены примеры линий напряженности: положитель­но заряженного шарика (рис. 3); двух разноименно заряженных ша­риков (рис. 4); двух одноименно заряженных шариков (рис. 5); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 5). Последний пример осо­бенно важен. На рисунке 6 видно, что в пространстве между пластина­ми ближе к середине силовые линии параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряжен­ность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной об­ласти пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность по­ля внутри этой области меняется незначительно.

Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и окан­чиваются на отрицательных. Си­ловые линии непрерывны и не пересекаются, так как пересечение озна­чало бы отсутствие определенного направления напряженности элек­трического поля в данной точке. Они начинаются, или оканчиваются на заряженных телах, а затем рас­ходятся в разные стороны (см. рис. 3). Поэтому густота силовых линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля также больше.

Поле заряженного шара.Рассмотрим электрическое поле заряженного проводящего шара радиу­сом R. Заряд q равномерно распре­делен по поверхности шара. Сило­вые линии электрического поля, как вытекает из соображений сим­метрии, направлены вдоль продол­жений радиусов шара (рис. 7). Обратите внимание! Силовые ли­нии вне шара распределены в про­странстве точно так же, как и си­ловые линии точечного заряда (рис. 8). Если совпадают кар­тины силовых линий, то можно ожидать, что совпадают и напря­женности полей. Поэтому на рас­стоянии r≥R от центра шара на­пряженность поля определяется той же формулой

что и напряженность поля точечного заряда, по­мещенного в центре сферы:

Внутри проводящего шара (r внутри проводника равны нулю. Весь заряд сосредоточен на поверхности проводника, а линии напряженности электрического поля в любой точке поверхности проводника перпенди­кулярны этой поверхности.

Источник

Принцип суперпозиции электрических полей.

Принцип суперпозиции (наложения) полей формулируется так:

Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряженности которых и т. д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна: .

Принцип суперпозиции полей справедлив для случая, когда поля, созданные несколькими различными зарядами, не оказывают никакого влияния друг на друга, т. е. ведут себя так, как будто других полей нет. Опыт показывает, что для полей обычных интенсивностей, встречающихся в природе, это имеет место в действительности.

Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряжен­ности поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно воспользоваться выражением напряженности поля точечного заряда.

На рисунке ниже показано, как в точке A определяется напряжен­ность поля , созданная двумя точечными зарядами q₁ и q₂.

Силовые линии электрического поля.

Электрическое поле в пространстве принято представлять силовыми линиями. Понятие о силовых линиях ввел М. Фарадей при исследовании магнетизма. Затем это понятие было развито Дж. Максвеллом в исследованиях по электромагнетизму.

Силовая линия, или линия напряженности электрического поля, — это линия, касательная к которой и каждой ее точке совпадает с направлением силы, действующей на положительный точечный заряд, находящийся в этой точке поля.

На рисунках ниже изображены линии напряженности положительно заряженного шарика (рис. 1); двух разноименно заряженных шариков (рис. 2); двух одноименно заряженных ша­риков (рис. 3) и двух пластин, заряженных разными по знаку, но одинаковыми по абсолютной величине зарядами (рис. 4).

Линии напряженности на последнем рисунке почти параллельны в пространстве между пластинами, и плотность их одинакова. Это говорит о том, что поле в этой области пространства одно­родно. Однородным называется электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства.

В электростатическом поле силовые линии не замкнуты, они всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах. Они нигде не пересекаются, пересе­чение силовых линий говорило бы о неопределенности направления напряженности поля в точке пересечения. Плотность силовых линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность поля больше.

Поле заряженного шара.

Напряженность поля заряженного про­водящего шара на расстоянии от центра шара, превышающем его радиус r ≥ R. определяется по той же формуле, что и поля точечного заряда . Об этом свидетельствует распределение силовых линий (рис. а), аналогичное распределению линий напряженности то­чечного заряда (рис. б).

Заряд шара распределен равномерно по его поверхности. Внутри проводящего шара напряженность поля равна нулю.

Источник